نام کتاب: المپیادهای مقدماتی ریاضی ایران و مرحله اول (از سال ۱۳۸۳ تا ۱۳۸۷)

نویسندگان: محمد زائری امیرانی و مرتضی محمد آبادی

سال انتشار: 1388

توضیحات: این کتاب سوالات مرحله اول و مرحله مقدماتی المپیاد ریاضی از سال ۱۳۸۳ تا ۱۳۸۷ رو شامل میشه. (مرحله مقدماتی در سالهای قبل برگزار می شد و به منزله ی مرحله اول برای دانش آموزان سال اولی بود!)

لینک دانلود: http://www.4shared.com/document/lHn8ms2C/Iran-First_Stage.htm

موضوعات مرتبط: دانلود کتاب سوالات مرحله اول به همراه جوابهای تشری

عدد a رو رسم پذیر گوییم اگر بتوان تنها با استفاده از خط کش و پرگار پاره خطی به طول a رسم کرد. و البته فرض ما بر این است که یک واحد طول داده شده باشد.

از این به بعد هر جا کلمه رسم پذیری آمد منظور همان رسم پذیری به وسیله خط کش و پرگار است.

رسم پذیری بعضی عددها بسیار واضح است. مثلا ۱ و ۲ و ... چون اینها ضریبهایی از واحد طول هستند. اما بعضی دیگر احتیاج به بررسی دارند مثل “رادیکال ۲”. آیا این عدد رسم پذیر است؟

از دوران دبیرستان به یاد داریم که : از هر نقطه خارج یک خط مفروض می توان خطی عمود بر آن رسم کرد.

اگر محل تلاقی این دو خط را مبدا در نظر بگیریم به این محور محور رسم پذیر می گوییم.

در این محور:

۱) (a,۰) یا (۰,a) را رسم پذیر گوییم اگر a رسم پذیر باشد.

۲) (a,b) را رسم پذیر گوییم اگر a و b رسم پذیر باشند.

هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد، اعم از پاره خط، دایره و... یک شکل رسم پذیر گوییم.

++ اگر یک پاره خط در این محورها رسم کنیم، طول پاره خط عددی رسم پذیر است.

حال می توانیم به راحتی بگوییم که “رادیکال۲” رسم پذیر است. چون اگر (۰.۱) و (۰و۱) رو روی محور به هم وصل کنیم بنابر قضیه فیثاغورث پاره خطی به طول “رادیکال۲″ داریم.

حال سوالی که مطرح می شود این است که آیا همه اعداد رسم پذیرند؟ و اگر نه چه عددهایی رسم پذیرند و کدام ها رسم پذیر نیستند.

همه عددها رسم پذیر نیستند و تعیین رسم پذیری آنها به کارهای تخصصی می انجامد اما حالا که مفهوم عدد رسم پذیر رو فهمیدیم چند حکم کلی درباره رسم پذیری رو هم بیان می کنیم:

۱) اگر a و b رسم پذیر باشند آنگاه a+b , a-b , a.b , a/b نیز رسم پذیرند.

۲) اگر a رسم پذیر باشد آنگاه “رادیکال a” نیز رسم پذیر است.

۳) موارد زیر معادلند (یعنی اگر یکی از آنها در مورد یک عدد درست باشد دو تای دیگر نیز درستند)

الف) x رسم پذیر است.

ب) (Cos(x رسم پذیر است.

ج) (Sin(x رسم پذیر است.

۴) همه اعداد گویا (Q) رسم پذیر هستند.

اکنون کار قضاوت در مورد رسم پذیری عددها خیلی ساده تر شد. تنها عددی ممکن است رسم پذیر نباشد که گنگ باشد. اما تعیین اینکه عدد گنگی رسم پذیر است یا نه دارای تکنیکهای ویژه ایست.

▪ چند حکم در مورد رسم پذیری اعداد با استفاده از میدان های شکافنده:

۱) مجموعه همه عددهای رسم پذیر زیرمیدانی از میدان اعداد حقیقی ® است.

۲) اگر a عددی رسم پذیر باشد آنگاه a در توسیعی از Q قرار دارد که درجه آن توسیع روی Q توانی از ۲ است.

۳) (نتیجه ۲ و پر کاربرد تر از آن): اگر a در یک چندجمله ای تحویل ناپذیر روی Q صدق کند که درجه آن توانی از ۲ نباشد آنگاه a رسم پذیر نیست.

۴) اگر a ریشه n-ام اولیه واحد باشد آنگاه n ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر درجه (Q(a روی Q توانی از ۲ باشد.

۵) اگر P عددی اول باشد آنگاه P ضلعی منتظم رسم پذیر است اگر وفقط اگر P عدد اول فرما باشد.

▪ چند مساله تاریخی زیر هم که شاید از زمان اقلیدس وجود داشته و با استفاده از بحث رسم پذیری حل شدند در زیر می بیند:

۱) آیا می توان به کمک خط کش و پرگار هر زاویه را به سه قسمت تقسیم کرد؟ (تثلیث زاویه)

۲) آیا می توان مربعی هم مساحت با یک دایره دلخواه رسم کرد؟ (تربیع دایره)

۳) آیا می توان برای هر مکعب دلخواه مکعبی رسم کرد که حجم آن دو برابر مکعب مفروض باشد؟ (تضعیف مکعب) تضعیف یعنی مضاعف کردن. یعنی دو برابر کردن.

ثابت شده است که هیچ یک از این احکام در حالت کلی درست نیستند. مثلا “تثلیث زاویه ۶۰ درجه” و “تربیع دایره ای به شعاع یک” و “تضعیف مکعبی به ابعاد یک” ممکن نیست

موضوعات مرتبط: رسم پذیربودن یک عدد

عداد گنگ (Irrational numbers)            

یونانیان به اعداد و روابط آنها با پدیده­های جهان طبیعت اعتقاد بسیاری داشته­اند، تا آنجا که فیثاغورث و طرفدارانش ادعا می­کردند که اعداد سازنده جهان هستند و هر چیزی با عدد قابل بیان است. یکی از دلایل فروپاشی مکتب فیثاغورثیان این بود که هنگتمی که می­خواستند معروفترین قضیه خود را(قضیۀ فیثاغورث) بیان کنند با این پرسش مواجه می­شدند که اگر طول هر یک از ضلع­های مجاور زاویۀ قائمه برابر واحد باشد، طول وتر چه عددی می­شود؟ و فیثاغورثیان که ادعا می­کردند اعداد سازنده جهان طبیعت هستند، حال نمی­توانستند آن عدد را بیان کنند.

تعریف: m عددی گنگ(اصم) است وقتی که هیچ­ کسری به صورت  که a,bϵℤ وجود نداشته باشد که برابر m شود.

نشان می­دهیم که عددی گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض می­کنیم عددی گویا است، پس اعدادی مانند a و b وجود دارند بطوریکه    و  .

طرفین تساوی را به توان 2 می­رسانیم پس  و بنابراین a²=2b² یعنی a² عددی زوج است و چون توان دوم هر عدد فردی، فرد است، پس a زوج است و می­توان فرض کرد a=2k و بنابراین 4k²=2b² که نتیجه می­دهد  b²=2k² ، یعنی b² و در نتیجه b زوج است. پس a و b اعدادی زوج شدند و دارای حداقل یک مقسوم علیه مشترک (یعنی 2 ) هستند که با فرض اولیه که (a,b)=1 در تناقض است. پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است، یعنی عددی گنگ است.

نشان می­دهیم که اگر a=p+1 که در آن p یک عدد گنگ است آنگاه عدد a نیز گنگ است.

اثبات به برهان خلف: فرض کنیم a گنگ نیست، پس گویاست.

تساوی یگ عدد گویا و یگ عدد گنگ ناممکن است → a-1=p → چون اعداد گویا نسبت به تفریق بسته­اند پس a-1 گویاست→ a-1=p   →  a=1+p

و این یک تناقض است، پس فرض خلف باطل و حکم ثابت است.

رسم­پذیر بودن اعداد گنگ:

عدد a را رسم­پذیر گویند هرگاه بتوان با استفاده از خط­کش و پرگار پاره­خطی به طول a رسم کرد. حال آیا  رسم پذیر است.

می­دانیم که از هر نقطه خارج یک خط مفروض می­توان خطی عمود بر آن رسم کرد. اگر محل تلاقی این دو خط را در مبداء در نظر می­گیریم، به این محور رسم­پذیر گوییم. در این محور داریم:

1)(a.0)  و یا (0,a) را رسم­پذیر گوییم هرگاه a  رسم­پذیر باشد.

2) (a,b) را رسم­پذیر گوییم هرگاه a,b رسم­پذیر باشند.

3) هر شکلی را که روی این محور بتوان رسم کرد؛ اعم از پاره­خط، دایره و ... یک شکل رسم­پذیر گوییم.

حال می­توانیم نشان دهیم که  رسم­پذیر است. چون اگر (0,1) و (1,0) را روی محور به هم وصل کنیم بنا بر قضیۀ فیثاغورث پاره­خطی به طول  داریم.

*(تنها عددی که ممکن است رسم­پذیر نباشد عدد گنگ است.) تعیین اینکه عدد گنگی رسم­پذیر است یا خیر به معلومات و تکنیکهای ویژه­ای نیاز دارد که در مقاطع بالاتر مانند جبر 2 ارائه می­شود.

برای ساخت یک عدد گنگ کافیست بسط اعشاری این عدد، هیچ دوره­ تناوب یا دوره تکراری نداشته باشد. به این ترتیب می­توان بی­نهایت عدد گنگ ساخت.

در ریاضیات این گزاره که "هر عددی که گویا نباشد `گنگ است´ صخیخ نیست. اعدادی نیز وجود دارند که نه گویا هستند و نه گنگ. مانند " اعداد بی­نهایت کوچک". چند مثال از اعداد گنگ:  ,  , e , π , g و ... .

بسط­ دهی یک عدد گنگ نشان می­دهد که دارای ویژگی­هایی می­باشند:

1)بی­پایان هستند.

2)تکرار ناپذیر هستند، یعنی رقمهایشان الگویی غیر تکراری را نشان می­دهند.

چند اصل در مورد اعداد گنگ:

1)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گویا وجود دارد.

2)بین دو عدد گویا، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

3)بین دو عدد گنگ، حداقل یک عدد گنگ وجود دارد.

قضیۀ هورویتز (Hurwitz theorem) :

هر عددی دارای تقریب­های "گویای" بی­نهایتی به شکل  است که در آن تقریب  دارای خطایی کمتر از  است.

طبقه بندی اعداد گنگ: اعداد گنگ را با توجه به چگونگی سختی محاسبه­اشان از طریق "تقریب" با اعداد گویا طبقه­بندی کرده­اند. به عبارت دیگر یک عدد گنگ از عدد گنگ دیگر، گنگ­تر است. به عنوان مثال عدد  دارای تقریب بهتری نسبت به عدد  است، پس  گنگ­تر از π است.

گنگ­ترین عدد گنگ عددی است که قبلا در هندسه شناخته شده است و به عدد گنگ طلائی g (Golden mean) مشهور است.             

عدد g جواب معادله x²-x+1=0 است. عدد گنگ طلائی عبارت است از " قطر یک پنج ضلعی با اضلاع برابر یک". گنگی بسیار بالای این عدد باعث کاربردش در هند است که هنوز علت آن مشخص نیست. این عدد نقش مهمی در مباحث "زیباشناسی ریاضی" دارد.

عدد π: عدد π را نسبت به محیط دایره به قطر آن تعریف می­کنند. در سال 1761 لامبرت (Lambert) ریاضیدان سوئدی ثابت کرد که عدد π گنگ است. همچنین لایدمن (Lindeman) ثابت کرد که عدد π یک عدد جبری نیست یعنی نمی­تواند ریشه یک معادله جبری باشد که ضرایب آن گویا هستند.

اولین بار به طور رسمی ارشمیدس روشی را برای محاسبۀ تقریبی عدد π بیان کرد:  

این کشف که عدد π یک عدد گنگ است به سالها تلاش ریاضیدانان برای تربیع دایره پایان داد.

عدد e: اویلر ثابت کرد e عددی گنگ است و دارای" کسرهای مسلسل" نامحدود ساده است. ژوزف لیدویل ثابت کرد e جواب "معادله درجه دوم با ضرایب صحیح" نیست. همچنین چارلز هرمیت (Charles Hermite) ثابت کرد عدد گنگ e، عددی غیر جبری است.

اجتماع اعداد گویا وگنگ، اعداد حقیقی است. مجموعه اعداد گنگ مجموعه­ای ناشمارا است. جورج کانتور (George Cantor) ریاضیدان آلمانی نشان داده است درحالی که بی­نهایت عدد گنگ و گویا وجود دارند؛ تعداد اعداد گنگ از اعداد گویا بیشتر است.

تابع درخت کریسمس: تابع f را بر  با ضابطۀ        در نظر می­گیریم.

fتابعی است که مجموعه نقطه­های ناپیوستگی آن اعداد گویای بازه  و نقاط پیوستگی آن اعداد گنگ بازه  هستند. نامگذاری این تابع به خاطر شباهت شکل این تابع با درخت کریسمس است.

اعداد گنگ و رشد گیاهان: ردیابی شاخکهای میوۀ کاج نشان می­دهد، آنها یکی یکی از قسمت پایینی اضافه می­شوند. زاویۀ بین یک شاخک با دیگری، همیشه یکسان است! این فرض معقول است که معمولا موثرترین فشردگی زمانی اتفاق بیفتد که این زاویه تا آنجا که ممکن است عددی گنگ باشد. به همین خاطر است که در طبیعت زاویه­های گنگ فراوان دیده می­شود.

موضوعات مرتبط: عداد گنگ (Irrational numbers

                                         دانلود سوالات مرحله سوم المپیاد ریاضی

                                                   دانلود نمونه سوال المپیاد ریاضی                                                                          

                                                    دانلود کنید

موضوعات مرتبط: دانلود سوالات المپیاد های ریاضی

                                                     

100 سوال نظریه اعداد.

150 سوال هندسه.

100 سوال هندسه.

100 سوال معادلات تابعی.

100 سوال نامسوری (نامساوی + نابرابری!).

50 سوال مثلثات.

100 سوال چندجمله ای ها.

موضوعات مرتبط: دانلود مجموعه ای از مسئله های المپیادی

	فیزیک سال اول دبیرستان		فیزیک سال دوم دبیرستان		فیزیک سال سوم دبیرستان
	شیمی سال اول دبیرستان		شیمی سال دوم دبیرستان		شیمی سال سوم دبیرستان
	آزمایشگاه شناخت مواد		ایمنی و بهداشت		شناخت صنایع شیمیایی
	ریاضی هنرستان		فیزیک هنرستان
	حساب دیفرانسیل و انتگرال - نسخه آزمایشی		جبر و احتمال - نسخه آزمایشی		ریاضیات گسسته - نسخه آزمایشی
	هندسه 2 - نسخه آزمایشی		هندسه تحلیلی - نسخه آزمایشی		فیزیک پیش دانشگاهی - نسخه آزمایشی
	ریاضیات 1 - نسخه آزمایشی		ریاضیات 2 - نسخه آزمایشی		شیمی پیش دانشگاهی - نسخه آزمایشی

موضوعات مرتبط: خود آموز دروس علوم پایه دبیرستان

	عنوان	سايز
	بي‌دوره‌ي گردش	58.72 KB
	پي بي‌هيچ فايده	31.53 KB
	گنگيِ راديكال n	52.91 KB
	نمایش اعشاری عدد گویا	63.76 KB
	پاسخ يك ايراد	27.02 KB
	دوره‌ي گردش يك عدد گويا	33.97 KB
	about radical two	31.48 KB
	عدد پي تا يك ميليون رقم اعشار	4.62 MB
	از نگاه فلسفه	57.05 KB
	باطل‌نماي راسل	52.62 KB
	مهمان‌خانه‌ي عجيب	509.45 KB
	مثلث فانو	153.41 KB
	نقصي ديگر	75.01 KB
	ناهيد‌نامه	32.92 KB
	پنج اصل پئانو	54.45 KB
	وقتي رياضيات نه مي‌گويد	241.33 KB
	خدامراد	39.56 KB
	تعداد زيرمجموعه‌هاي يك مجموعه	100.57 KB
	باناخ-تارسكي	1.27 MB
	Three wonderful algorithms	44.64 KB
	Sperner families	72.09 KB
	Partitions of X	31.91 KB
	Intersecting families	46.78 KB
	Gray codes	61.77 KB
	Bell numbers	43.42 KB
	درخت عجايب	31.85 KB
	دو حدس معروف	78.64 KB
	نتیجه‌ی عجیب میلز	65.12 KB
	mn=nm	57.68 KB
	یک اثبات جدید	67.81 KB
	یک نمونه‌ی واقعی	49.59 KB
	گنگ به توان گنگ	79.02 KB
	a cyclotomic proof	596.56 KB

موضوعات مرتبط: مطالب سايت آموزش شاد

در فایل ضمیمه این مطلب،۱۵۰ مسئله ی هندسه قرار داده شده است.این مسائل مناسب برای کسانی است که قصد شرکت در المپیاد ریاضی را دارند(به خصوص مرحله ی دوم).

با کلیک بر روی شماره هر سوال،به سایتی که پاسخ در آن قرار دارد،ارجاع داده خواهید شد.

دریافت

موضوعات مرتبط: ۱۵۰ سوال زیبای هندسه براي المپياد

برای مشاهده فایل های PDF  روی تصویر فرمت مورد نظر خود کلیک نمایید.

سال 90	خرداد   هندسه(۲)	شهریور هندسه(۲)	دیماه
۸۹
۸۸
۸۷
۸۶
۸۵
۸۴

موضوعات مرتبط: سوال ها و پاسخ های تشريحی درس هندسه ۲

موضوعات مرتبط: دریافت چند کتاب درسی و کتاب مکمل آن

پیک یاد آور سال دوم و سوم متوسطه جهت آمادگی دانش آموزان  برای شرکت در آزمون۲۰/۹/۹۰

پیک یاد آور سال دوم رشته انسانی

پیک یاد آورسال دوم رشته تجربی

پیک یاد آور سال دوم ریاضی

پیک یاد آور سال سوم انسانی

پیک یاد آور سال سوم تجربی

پیک یاد آور سال سوم ریاضی

موضوعات مرتبط: پیک یاد آور آزمون پيشرفت تحصيلي

الف- منابع عمومی المپیاد ریاضی:

1-    استراتژی های حل مسأله، آرتور انگل، ترجمه: آرش امینی، محسن جمالی، داود وکیلی، مصطفی هاشمی، بهمن اصلاح پذیر، انتشارات مبتکران

2-    المپیادهای ریاضی آمریکا، تألیف: صادق بلوکی و احسان بلوکی، انتشارات اندیشه سرا

3-    المپیادهای ریاضی لنینگراد، ترجمه: پرویز شهریاری

ب- منابع تخصصی المپیاد ریاضی:

1-        نظریه اعداد

1-1-        نظریه اعداد، تألیف: مریم میرزاخانی و رویا بهشتی زواره، انتشارات فاطمی

1-2-        مسائل نظریه اعداد در المپیاد ریاضی ویژه آزمون های مقدماتی و مرحله اول، تألیف: عباس ثروتی، انتشارات دانش پژوهان جوان

1-3-        250 مسأله حساب، تألیف: سرپینسکی

2-        ترکیبیات:

2-1-        الفبای المپیاد کامپیوتر و ریاضی، تألیف: مرتضی محمدآبادی، انتشارات دانش پژوهان جوان

2-2-        مسائل ترکیبیات در المپیاد ریاضی ویژه آزمون های مقدماتی و مرحله اول، تألیف: عباس ثروتی، انتشارات دانش پژوهان جوان

2-3-        102 مسأله ترکیبیات، تألیف: تیتو آندرسکو، زومینگ فنگ، ترجمه: بردیا حسام، ارشک حمیدی، انتشارات فاطمی

2-4-        ترکیبیات، تألیف: علیرضا علی پور، انتشارات فاطمی

3-        هندسه:

3-1-        هندسه مسطحه از مقدمات تا المپیاد، تألیف: مصطفی مسگری مشهدی، سیامک احمدپور، انتشارات خوشخوان

3-2-        مسائل هندسه در المپیاد ریاضی ویژه آزمون های مقدماتی و مرحله اول، تألیف: عباس ثروتی، انتشارات دانش پژوهان جوان

3-3-        هندسه مسطحه، تألیف: ناتان آلتشیلر کورت، ترجمه: محمود دیانی، انتشارات فاطمی

3-4-        مسأله هایی در هندسه مسطحه، تألیف: ایگورفئودوروویچ شاریگین، ترجمه: ارشک حمیدی، انتشارات مبتکران

3-5-        هندسه، تألیف: جاوید ولیدشتی، انتشارات فاطمی

4-        جبر و آنالیز:

4-1-        مسائل جبر در المپیاد ریاضی ویژه آزمون های مقدماتی و مرحله اول، تألیف: عباس ثروتی، انتشارات دانش پژوهان جوان

4-2-        مباحث و مسائل جبر در المپیاد ریاضی، تألیف: مهدی صفا، انتشارات خوشخوان

موضوعات مرتبط: منابع المپيادرياضي

                                 

                                            دریافت فایل فشرده جزوه ریاضی یک سمپاد

موضوعات مرتبط: دریافت فایل فشرده جزوه ریاضی یک سمپاد

ین کتاب شامل 16 فصل است .فصل اول در باره  اعداد صحیح ، فصل دوم اعداد گویا، فصل سوم اعداد حقیقی و رادیکال ها،فصل چهارم  در باره روابط و توابع ،فصل پنجم در مورد توابع درجه دوم واعداد مختلط، فصل ششم در باره  دنبله ها و سری ، فصل هفت در باره توابع نمایی ، فصل هشت در باره توابع لگاریتمی ، فصل نهم در مورد توابع مثلثاتی، فصل دهم ، مطالب بیشتری از توابع مثلثاتی، فصل یازدهم نمودار توابع مثلثاتی، فصل دوازدهم در ارتباط با اتحاد های مثلثاتی ، فصل سیزدهم در مورد معادلات مثلثاتی،فصل چهاردهم در مورد کاربرد های مثلثات ، فصل پانزدهم در باره آمار و بالاخره فصل شانزدهم و آخرین فصل در باره احتمالات و قضیه دو جمله ای می باشد.

 روش دانلود :ابتدا بر لینک زیر کلیک کنید تا مقدمه و فهرست کتاب را دانلود کنید و بعد در فهرست دانلود شده با کلیک بر هر فصل می توانید آن را دانلود کنید.

دانلود کنید

موضوعات مرتبط: دانلود کتابی در زمینه ریاضیات دبیرستان با زیان انگ

درسنامه و تمرینات باجواب ازفصل اول جبر و احتمال (استدلال ریاضی)

                                     

دریافت پیک یادآور اول دبیرستان

دریافت نمونه سوالات آغازین نوبت صبح

دریافت نمونه سوالات آغازین شیفت عصر

موضوعات مرتبط: پیک یادآور و نمونه سوالات آغازین اول دبیرستان